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数学家介绍-拉格朗日
栏目名:大学数学课 时间:2015年11月11日 信息来源:本站原创 点击:

拉格朗日

Joseph-Louis Lagrange

(1736~1813)

   据拉格朗日本人回忆,幼年家境富裕,可能不会作数学研究,但到青年时代,在数学家F.A.雷维里(R-evelli)指导下学几何学后,萌发了他的数学天才。17岁开始专攻当时迅速发展的数学分析。他的学术生涯可分为三个时期:都灵时期(1766年以前)、柏林时期(1766—1786)、巴黎时期(1787—1813)。

   拉格朗日在数学、力学和天文学三个学科中都有重大历史性的贡献,但他主要是数学家,研究力学和天文学的目的是表明数学分析的威力。全部著作、论文、学术报告记录、学术通讯超过500篇。

   拉格朗日的学术生涯主要在18世纪后半期。当时数学、物理学和天文学是自然科学主体。数学的主流是由微积分发展起来的数学分析,以欧洲大陆为中心;物理学了主流是力学;天文学的主流是天体力学。数学分析的发展使力学和天体力学深化,而力学和天体力学的课题又成为数学分析发展的动力。当时的自然科学代表人物都在此三个学科做出了历史性重大贡献。下面就拉格朗日的主要贡献介绍如下:

   数学分析的开拓者

   1.变分法  这是拉格朗日最早研究的领域,以欧拉的思路和结果为依据,但从纯分析方法出发,得到更完善的结果。他的第一篇论文“极大和极小的方法研究”是他研究变分法的序幕;1760年发表的“关于确定不定积分式的极大极小的一种新方法”是用分析方法建立变分法制代表作。发表前写信给欧拉,称此文中的方法为“变分方法”。欧拉肯定了,并在他自己的论文中正式将此方法命名为“变分法”。变分法这个分支才真正建立起来。

   2.微分方程早在都灵时期,拉格朗日就对变系数微分方程研究做工出了重大成果。他在降阶过程中提出了以后所称的伴随方程,并证明了非齐次线性变系数方程的伴随方程,就是原方程的齐次方程。在柏林期,他对常微分方程的奇解和特解做出历史性贡献,在1774年完成的“关于微分方程特解的研究”中系统地研究了奇解和通解的关系,明确提出由通解及其对积分常数的偏导数消去常数求出奇解的方法;还指出奇解为原方程积分曲线族的包络线。当然,他的奇解理论还不完善,现代奇解理论的形式是由G.达布等人完成的。除此之外,他还是一阶偏微分方程理论的建立者。

   3.方程论拉格朗日在柏林的前十年,大量时间花在代数方程和超越方程的解法上。

他把前人解三、四次代数方程的各种解法,总结为一套标准方法,而且还分析出一般三、四次方程能用代数方法解出的原因。拉格朗日的想法已蕴含了置换群的概念,他的思想为后来的N.H.阿贝尔和E.伽罗瓦采用并发展,终于解决了高于四次的一般方程为何不能用代数方法求解的问题.此外,他还提出了一种格朗日极数.

   4.数论著 拉格朗日在1772年把欧拉40多年没有解决的费马另一猜想“一个正整数能表示为最多四个平方数的和”证明出来。后来还证明了著名的定理:n是质数的充要条件为(n-1)!+1能被n整除。

   5.函数和无穷级数 同18世纪的其他数学家一样,拉格朗日也认为函数可以展开为无穷级数,而无穷级数同是多项式的推广。泰勒级数中的拉格朗日余项就是他在这方面的代表作之一。

   分析力学的创立者

   拉格朗日在这方面的最大贡献是把变分原理和最小作用原理具体化,而且用纯分析方法进行推理,成为拉格朗日方法。

   天体力学的奠基者

   首先在建立天体运动方程上,他用他在分析力学中的原理,建议起各类天体的运动方程。其中特别是根据他在微分方程解法的任意常数变异法,建立了以天体椭圆轨道根数为基本变量的运动方程,现在仍称作拉格朗日行星运动方程,并在广泛作用。在天体运动方程解法中,拉格朗日的重大历史性贡献是发现三体问题运动方程的五个特解,即拉格朗日平动解。

   总之,拉格朗日是18世纪的伟大科学家,在数学、力学和天文学三个学科中都有历史性的重大贡献。但主要是数学家,他最突出的贡献是在把数学分析的基础脱离几何与力学方面起了决定性的作用。使数学的独立性更为清楚,而不仅是其他学科的工具。同时在使天文学力学化、力学分析上也起了历史性的作用,促使力学和天文学(天体力学)更深入发展。由于历史的局限,严密性不够妨碍着他取得更多成果。


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