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数学史简介-中世纪前后
栏目名:大学数学课 时间:2015年11月11日 信息来源:本站原创 点击:

欧洲中世纪前的数学

    在大多数学科里,一代人要推倒另一代人所修筑的东西,一个人所树立的另一个人要加以摧毁,只有数学,每一代人都能在旧建筑上增添一层楼。

Heunann Hankil

    从公元400年起到1100年左右为止,欧洲的数学基本处于停滞状态,当代数学史家M.克莱茵这样评说:罗马文明是产生不出数学来的,因为太注重实际和马上可以应用的结果,欧洲中世纪文明之不能产生数学成果则出于正相反的原因,它根本不关心物理世界,认为俗世的事务和问题是不重要的,基督教重视死后的生活并重视为此而进行的准备。此外,十四世纪的下半叶的黑死病夺去了约占欧洲三分之一的人口使整个欧洲文明倒退回去。

    微积分产生的历史背景

    数学中的转折点是笛卡尔的变数,有了变数,运动进入了数学,有了变数,辩证法进入了数学,有了变数,微分学和积分学也就立刻成为必要的了,而它们也就立刻产生,并且是有牛顿和莱布尼兹大体上完成的,但不是由他们发明的。

    恩格斯

     从15世纪初欧洲文艺复兴时期起,工业、农业、航海事业与商贾贸易的大规模发展,形成了一个新的经济时代,宗教改革与对教会思想禁锢的怀疑,东方先进的科学技术通过阿拉伯的传入,以及拜占庭帝国覆灭后希腊大量文献的流入欧洲,在当时的知识阶层面前呈现出一个完全斩新的面貌。而十六世纪的欧洲,正处在资本主义萌芽时期,生产力得到了很大的发展,生产实践的发展向自然科学提出了新的课题,迫切要求力学、天文学等基础学科的发展,而这些学科都是深刻依赖于数学的,因而也推动的数学的发展。科学对数学提出的种种要求,最后汇总成车个核心问题:

(1) 运动中速度与距离的互求问题(几何演示)

即,已知物体移动的距离S表为时间的函数的公式S=S(t),求物体在任意时刻的速度和加速度;反过来,已知物体的加速度表为时间的函数的公式,求速度和距离。这类问题是研究运动时直接出现的,困难在于,所研究的速度和加速度是每时每刻都在变化的。比如,计算物体在某时刻的瞬时速度,就不能象计算平均速度那样,用运动的时间去除移动的距离,因为在给定的瞬间,物体移动的距离和所用的时间是0,而0/0是无意义的。但是,根据物理,每个运动的物体在它运动的每一时刻必有速度,这也是无疑的。已知速度公式求移动距离的问题,也遇到同样的困难。因为速度每时每刻都在变化,所以不能用运动的时间乘任意时刻的速度,来得到物体移动的距离。

(2) 求曲线的切线问题(几何演示)

这个问题本身是纯几何的,而且对于科学应用有巨大的重要性。由于研究天文的需要,光学是时十七世纪的一门较重要的科学研究,透镜的设计者要研究光线通过透镜的通道,必须知道光线入射透镜的角度以便应用反射定律,这里重要的是光线与曲线的法线间的夹角,而法线是垂直于切线的,所以总是就在于求出法线或切线;另一个涉及到曲线的切线的科学问题出现于运动的研究中,求运动物体在它的轨迹上任一点上的运动方向,即轨迹的切线方向。

(3) 求长度、面积、体积、与重心问题等(几何演示)

这些问题包括,求曲线的长度(如行星在已知时期移动的距离),曲线围成的面积,曲面围成的体积,物体的重心,一个相当大的物体(如行星)作用于另一物体上的引力。实际上,关于计算椭圆的长度的问题,就难住数学家们,以致有一段时期数学家们对这个问题的进一步工作失败了,直到下一世纪才得到新的结果。又如求面积问题,早古希腊时期人们就用穷竭法求出了一些面积和体积,如求抛物线 在区间[0,1]上与x轴和直线x=1所围成的面积S,他们就采用了穷竭法。当n越来截越小时,右端的结果就越来越接近所求的面积的精确值。但是,应用穷竭法,必须添上许多技艺,并且缺乏一般性,常常得不到数字解。当Archimedes的工作在欧洲闻名时,求长度、面积、体积和重心的兴趣复活了。穷竭法先是逐渐地被修改,后来由于微积分的创立而根本地修改了。

(4) 求最大值和最小值问题(几何演示)

炮弹在炮筒里射出,它运行的水平距离,即射程,依赖于炮筒对地面的倾斜角,即发射角。一个“实际”的问题是求能获得最大射程的发射角。十七世纪初期,Galileo断定(在真空中)最大射程在发射角是 时达到;他还得出炮弹从各个不同角度发射后所达到的不同的最大高度。研究行星的运动也涉及到最大值和最小值的问题,例如求行星离开太阳的最远和最近距离。

文艺复兴时期的数学

     对外部世界进行研究的主要目的在于发现上帝赋予它的合理次序与和谐,而这些是上帝以数学语言透露给我们的。

     Keplen

     文艺复兴时期(1400—1600),欧洲被几件事情深深地震憾了一下,其一是革命的影响十分广泛;其二是希腊著作大量进入欧洲,活板印刷的发明,加速了知识的传播。此外罗盘和火药的引进使得远洋称为可能。火药在十三世纪从中国引进,它改变了战争的方法和防御公式的设计,使得研究抛射体的运动变得很重要。由于制造业、矿业、大规模的农业以及各种贸易的大量发展,一个新的经济时代开始了。数学兴趣的复活几乎是随着希腊知识和生活准则的复活一起而来的结果,十五世纪,希腊的著作大量进入欧洲,Plato著作被大家所了解,知道了自然界是按照数学方式设计的,并且这个设计是非常和谐优美的内部真理。教会是建立在权威之上的,它崇拜Aristotlc,并把怀疑以及伦理道德变化无常的情况下,数学是唯一被大家公认的真理体系,数学知识是确定无疑的,它给      人们在沼泽地上提供了一个稳国的立足点;于是人们又把寻求真理的努力引向数学。

     数学家和科学家也从神学的偏见中得到某种启示,它反复灌输这样一种观点,所有自然的现象不公相互关联而且还按照一个统盘的计划运转,那么,神学中上帝创造宇宙之说又怎么能够同寻找大自然的数学规律并行不饽呢?回答是提出一种新的教条,即:上帝是按数学方式设计了大自然的,把上帝推崇为一个至高无上的数学家,这就使得寻找大自然的数学规律一事成为称为一项合法的宗教活动。这个理论鼓舞了十六、十七甚至一些十八世纪的数学家的工作。所以文艺复兴时期的自然科学家被认为是神学家,用自然代替圣经作为他们的研究对象,其中的部分代表人物,如Kepler,Galileo,Pascal,Descartes,Newton,Leibniz等科学家们因为确信上帝在构造宇宙时已经把数学规律放在其中,所以他们坚持寻找自然现象背后的数学规律。每一条自然规律的发现都被认为证明了上帝的智慧而并非研究者的智慧。

     文艺复兴时期数学的主要贡献:几何透视法(广泛应用于建筑、绘画等方面),这时期最好的数学家是德国人Albrecht Durer(1471-1528),他几何方面的著作有《圆规直尺测量法》等。此外在代数和三角方面也有重要的发展。


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