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单调迭代方法在causal微分方程中的应用--王文丽
栏目名:科研项目 时间:2015年11月25日 信息来源:本站原创 点击:

项目研究意义及现状

20世纪以来,微分方程理论在人口发展、交通流、电磁流体力学、化学流体力学、动力气象学、地下水动力学等领域中应用广泛,因此,许多学者对其产生了极大的兴趣。其中微分方程边值问题理论是微分方程定性理论中的一个重要分支,在微分方程理论中占有重要的地位,近年来已成为一个十分热门的话题,关于非线性微分方程边值问题的结果已有很多,但是含有causal算子的非线性微分方程边值问题的结果却相对较少。含causal算子的微分方程理论,其显著特点是使常微分方程、积分微分方程、有限或无限滞后微分方程、沃尔泰拉积分方程和中立性泛函微分方程等等一致化。所以对其进行研究具有重要的理论意义和应用价值。

研究微分方程边值问题的方法有很多,单调迭代方法是其中之一。1985年,V.Laksmikantham等人出版了专著《非线性微分方程的单调迭代技术》,系统介绍了如何利用单调迭代技术和上下解方法来解决非线性微分方程(组)的一些问题,书中大量的例子表明利用单调迭代技巧,不仅可以证明解的存在性,还可以构造单调迭代序列,这些单调序列一致收敛于非线性问题的最大解与最小解。单调迭代技术和上下解方法是研究非线性问题解的存在性的一个有趣而且十分有用的重要工具。因此本课题利用单调迭代技术结合上下解方法致力于研究含causal算子的非线性微分方程边值问题。

研究意义:对含有causal算子的非线性微分方程边值问题的研究,将会推广微分方程定性理论,为进一步建立合完善含causal算子的微分方程定性理论,具有重要的理论价值和应用前景。

国内外研究现状及分析:

已经有学者注意到并研究了几类含causal算子的微分方程边值问题,例如,1913年,Volterracausal算子与积分方程结合起来。1930年,L.Tonelli给出了causal算子明确的定义。在上个世纪末,泛函方程的多种类型,如滞后微分方程,泛函微分方程和积分微分方程等等得到发展和研究,这些都是含causal算子的微分方程的特殊情况。 2005年,Z.Drici应用单调迭代方法得到了含causal算子的微分方程在巴拿赫空间上解的存在性,唯一性和全局存在性。2008年,耿凤杰和Tadeusz Jankowski都将单调迭代技术结合上下解方法研究了一类含causal算子的非线性微分方程边值问题,详细的阐述了极值解,拟解以及弱对最小和最大解的存在性。2009年,Tadeusz Jankowski进一步利用单调迭代技术结合上下解方法研究了含causal算子的二阶非线性微分方程边值问题,并得到了问题的极值解和唯一解。2014年,王文丽、田景峰应用广义单调迭代技术结合上下解方法,研究了一类含causal算子的非线性微分方程边值问题,其方程右端函数为两个单调函数之和。

但上述研究都是基于causal微分方程的初值问题、周期边值问题或者与之相关的边值问题,而对于更一般的边界条件单调迭代方法在causal微分方程中的应用--王文丽和积分边值问题的情况还没有涉及。正是注意到这些,将给出并证明在这些边界条件下含causal算子的非线性微分方程边值问题。


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